Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{2}$

Étape 9.3

Évaluez $x$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.5

Associez $3$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.7

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 9.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.7.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$7 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$7 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$7 - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 - 2 (2 - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.11

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.12

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (2) - 1$

Étape 9.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.14.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 - 2 \frac{4 - 1}{2} + (2) - 1$

Étape 9.4.14.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$7 - 2 (\frac{3}{2}) + (2) - 1$

Étape 9.4.15

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 2 \cdot 3}{2} + (2) - 1$

Étape 9.4.16

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$7 + \frac{- 6}{2} + (2) - 1$

Étape 9.4.17

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 9.4.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2} + (2) - 1$

Étape 9.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} + (2) - 1$

Étape 9.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} + (2) - 1$

Étape 9.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 + \frac{- 3}{1} + (2) - 1$

Étape 9.4.17.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$7 - 3 + (2) - 1$

Étape 9.4.18

Soustrayez $3$ de $7$ .

$4 + (2) - 1$

Étape 9.4.19

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 + 1$

Étape 9.4.20

Additionnez $4$ et $1$ .

$5$

Étape 10