Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} + 3 x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$10 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 5.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 \int_{1}^{3} x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $3$ et sur $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$10 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.5

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 \frac{- 1 + 9}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.8

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$10 (\frac{8}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9

Annulez le facteur commun à $8$ et $18$ .

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Étape 8.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$10 \frac{2 (4)}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$10 (\frac{4}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.10

Associez $10$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{40}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{9 - 1}{2}$

Étape 8.2.3.15

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{8}{2})$

Étape 8.2.3.16

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.16.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Étape 8.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 8.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{4}{1})$

Étape 8.2.3.16.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{40}{9} + 3 \cdot 4$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{40}{9} + 12$

Étape 8.2.3.18

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + 12 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.2.3.19

Associez $12$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + \frac{12 \cdot 9}{9}$

Étape 8.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{40 + 12 \cdot 9}{9}$

Étape 8.2.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.21.1

Multipliez $12$ par $9$ .

$\frac{40 + 108}{9}$

Étape 8.2.3.21.2

Additionnez $40$ et $108$ .

$\frac{148}{9}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{148}{9}$

Forme décimale :

$16.\overline{4}$

Forme de nombre mixte :

$16 \frac{4}{9}$

Étape 10