Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Étape 2

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{5}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Étape 5

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{6} y^{6}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Étape 8.2

Évaluez $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $729$ et $6$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.6

Pour écrire $\frac{243}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.7.1

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.9.1

Multipliez $243$ par $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.9.2

Soustrayez $1$ de $729$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.10

Annulez le facteur commun à $728$ et $6$ .

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Étape 8.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $728$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.11

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.12

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.15

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.16

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 8.3.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 8.3.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Étape 8.3.19

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 8.3.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.20.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Étape 8.3.20.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Étape 8.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Étape 8.3.22

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

Étape 8.3.23

Annulez le facteur commun à $8$ et $18$ .

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Étape 8.3.23.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Étape 8.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 8.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 8.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

Étape 8.3.24

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{1}{12}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

Étape 8.3.25

Multipliez $9$ par $12$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

Étape 8.3.26

Annulez le facteur commun à $4$ et $108$ .

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Étape 8.3.26.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

Étape 8.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.26.2.1

Factorisez $4$ à partir de $108$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Étape 8.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Étape 8.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

Étape 8.3.27

Pour écrire $\frac{364}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

Étape 8.3.28

Pour écrire $- \frac{1}{27}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $135$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.29.1

Multipliez $\frac{364}{15}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.29.2

Multipliez $15$ par $9$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.29.3

Multipliez $\frac{1}{27}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

Étape 8.3.29.4

Multipliez $27$ par $5$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

Étape 8.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

Étape 8.3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.31.1

Multipliez $364$ par $9$ .

$\frac{3276 - 5}{135}$

Étape 8.3.31.2

Soustrayez $5$ de $3276$ .

$\frac{3271}{135}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3271}{135}$

Forme décimale :

$24.2\overline{296}$

Forme de nombre mixte :

$24 \frac{31}{135}$

Étape 10