Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{25} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{25} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{25} x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 \int_{1}^{25} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $25$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Étape 9.2

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $25$ et sur $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.6

Multipliez $2$ par $125$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{250 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.10

Soustrayez $2$ de $250$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.11

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.12

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.14

Évaluez l’exposant.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.15

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1)$

Étape 9.3.17

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2)$

Étape 9.3.18

Soustrayez $2$ de $10$ .

$\frac{248}{3} - 2 \cdot 8$

Étape 9.3.19

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{248}{3} - 16$

Étape 9.3.20

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.3.21

Associez $- 16$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Étape 9.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{248 - 16 \cdot 3}{3}$

Étape 9.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.23.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{248 - 48}{3}$

Étape 9.3.23.2

Soustrayez $48$ de $248$ .

$\frac{200}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{200}{3}$

Forme décimale :

$66.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$66 \frac{2}{3}$

Étape 11