Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} 2 x^{4} - 3 x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} 2 x^{4} d x + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{3} x^{4} d x + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x^{2} d x$

Étape 5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$2 (\frac{243}{5} - \frac{1^{5}}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{243}{5} - \frac{1}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{243 - 1}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.4

Soustrayez $1$ de $243$ .

$2 (\frac{242}{5}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.5

Associez $2$ et $\frac{242}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 242}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.6

Multipliez $2$ par $242$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{484}{5} - 3 (9 - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{484}{5} - 3 (9 - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.10

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484}{5} - 3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.11

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{484}{5} - 3 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Étape 7.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.13.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{484}{5} - 3 \frac{27 - 1}{3}$

Étape 7.2.3.13.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$\frac{484}{5} - 3 (\frac{26}{3})$

Étape 7.2.3.14

Associez $- 3$ et $\frac{26}{3}$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 3 \cdot 26}{3}$

Étape 7.2.3.15

Multipliez $- 3$ par $26$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 78}{3}$

Étape 7.2.3.16

Annulez le facteur commun à $- 78$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $- 78$ .

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3}$

Étape 7.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3 (1)}$

Étape 7.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{484}{5} + \frac{3 \cdot - 26}{3 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{484}{5} + \frac{- 26}{1}$

Étape 7.2.3.16.2.4

Divisez $- 26$ par $1$ .

$\frac{484}{5} - 26$

Étape 7.2.3.17

Pour écrire $- 26$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{484}{5} - 26 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 7.2.3.18

Associez $- 26$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{484}{5} + \frac{- 26 \cdot 5}{5}$

Étape 7.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{484 - 26 \cdot 5}{5}$

Étape 7.2.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.20.1

Multipliez $- 26$ par $5$ .

$\frac{484 - 130}{5}$

Étape 7.2.3.20.2

Soustrayez $130$ de $484$ .

$\frac{354}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{354}{5}$

Forme décimale :

$70.8$

Forme de nombre mixte :

$70 \frac{4}{5}$

Étape 9