Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} y \sin (x y) d x$

Étape 1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$y \int_{1}^{2} \sin (x y) d x$

Étape 2

Laissez $u = x y$ . Alors $d u = y d x$ , donc $\frac{1}{y} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x y$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x y$ .

$u_{lower} = 1 y$

Étape 2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$u_{lower} = y$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x y$ .

$u_{upper} = 2 y$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = y$

$u_{upper} = 2 y$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$y \int_{y}^{2 y} \sin (u) \frac{1}{y} d u$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{y}$ .

$y \int_{y}^{2 y} \frac{\sin (u)}{y} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$y (\frac{1}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $y$ .

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$ par $1$ .

$\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{y}^{2 y}$

Étape 7

Évaluez $- \cos (u)$ sur $2 y$ et sur $y$ .

$- \cos (2 y) + \cos (y)$