Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 (x^{- 2} + 3 x) x^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 2 (3 x)) x^{2} d x$

Étape 1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 6 x) x^{2} d x$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{2} (2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Étape 1.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x \cdot x^{2} d x$

Étape 1.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x) d x$

Étape 1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x^{1}) d x$

Étape 1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{2 + 1} d x$

Étape 1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{3} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$2 x]_{1}^{2} + 6 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $2 x$ sur $2$ et sur $1$ .

$(2 \cdot 2) - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 - 2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 + 6 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + 6 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2 + 6 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 6 (4 - \frac{1}{4})$

Étape 6.2.3.7

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 6.2.3.8

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 6.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 + 6 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 6.2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.10.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 + 6 \frac{16 - 1}{4}$

Étape 6.2.3.10.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$2 + 6 (\frac{15}{4})$

Étape 6.2.3.11

Associez $6$ et $\frac{15}{4}$ .

$2 + \frac{6 \cdot 15}{4}$

Étape 6.2.3.12

Multipliez $6$ par $15$ .

$2 + \frac{90}{4}$

Étape 6.2.3.13

Annulez le facteur commun à $90$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $90$ .

$2 + \frac{2 (45)}{4}$

Étape 6.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{45}{2}$

Étape 6.2.3.14

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Étape 6.2.3.15

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2}$

Étape 6.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 + 45}{2}$

Étape 6.2.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.17.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 45}{2}$

Étape 6.2.3.17.2

Additionnez $4$ et $45$ .

$\frac{49}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{49}{2}$

Forme décimale :

$24.5$

Forme de nombre mixte :

$24 \frac{1}{2}$

Étape 8