Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Étape 2

Multipliez $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 8.1.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.1.3

Simplifiez

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Étape 8.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 8.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 8.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 8.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 8.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 8.1.3.6

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Étape 8.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 8.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 8.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 8.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Étape 8.1.3.7.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Étape 8.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Étape 8.3.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (2) - 2$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2) - 2$

Forme décimale :

$- 1.30685281 \dots$

Étape 10