Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ comme $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{p}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{p}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Étape 3

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{p}$ et $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Étape 6

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $\ln (2)$ et sur $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Étape 8.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Étape 9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini