Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Étape 1.1.2

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $y (y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.6.2

Divisez $4 y^{2} - 7 y - 12$ par $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $A ((y + 2) (y - 3))$ par $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.2

Développez $(y + 2) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.3.2

Additionnez $- 3 y$ et $2 y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.5

Simplifiez

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Étape 1.1.7.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.5.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.6

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 1.1.7.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.6.2

Divisez $(B) (y (y - 3))$ par $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.8

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.9

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.10

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.12

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.1.7.12.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Étape 1.1.7.12.2

Divisez $(C) (y (y + 2))$ par $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

Étape 1.1.7.13

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Étape 1.1.7.14

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Étape 1.1.7.15

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Étape 1.1.7.16

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Étape 1.1.7.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Étape 1.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.8.1

Déplacez $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Étape 1.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $y^{2}$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Étape 1.1.8.3

Déplacez $B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

Étape 1.1.8.4

Déplacez $- 6 A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

Étape 1.1.8.5

Déplacez $- 3 y B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Étape 1.1.8.6

Déplacez $- y A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = A + B + C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 12 = - 6 A$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $- 12 = - 6 A$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 6 A = - 12$ .

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 6 A = - 12$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 A = - 12$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1.2.3.1

Divisez $- 12$ par $- 6$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $4 = A + B + C$ par $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ par $2$ .

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $4 = 2 + B + C$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Étape 1.3.3.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2 - C$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ par $2 - C$ .

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.4.2.1.2.1

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.4.2.1.2.2

Additionnez $3 C$ et $2 C$ .

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5

Résolvez $C$ dans $- 7 = - 8 + 5 C$ .

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Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 8 + 5 C = - 7$ .

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.5.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5.2.2

Additionnez $- 7$ et $8$ .

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5.3

Divisez chaque terme dans $5 C = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $5 C = 1$ par $5$ .

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $\frac{1}{5}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = 2 - C$ par $\frac{1}{5}$ .

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $2 - (\frac{1}{5})$ .

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Étape 1.3.6.2.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.6.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.6.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.6.2.1.4.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Étape 1.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{9}{5}$ par $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 5

Comme $\frac{9}{5}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{9}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 6

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 6.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u_{1} = y + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u_{1} = y + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Étape 6.5

Additionnez $2$ et $2$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Étape 8

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

Étape 9

Laissez $u_{2} = y - 3$ . Puis $d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = y - 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 9.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u_{2} = y - 3$ .

$u_{lower} = 1 - 3$

Étape 9.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u_{2} = y - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Étape 9.5

Soustrayez $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Étape 11.2

Évaluez $\ln (| u_{1} |)$ sur $4$ et sur $3$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Étape 11.3

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Étape 11.4

Supprimez les parenthèses.

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 12.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 12.3

Associez $\frac{9}{5}$ et $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Étape 12.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Étape 12.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

Étape 13.7

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Forme décimale :

$1.76549265 \dots$

Étape 15