Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{2} - x$ . Alors $d u = (6 x - 1) d x$ , donc $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{2} - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 x - 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 10$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $10$ et sur $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10$ est $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Étape 5.3

Divisez $10$ par $2$ .

$\ln (5)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (5)$

Forme décimale :

$1.60943791 \dots$

Étape 7