Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{12 \ln^{3} (x)}{x} d x$

Étape 1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int_{1}^{3} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

Étape 2

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (3)$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (3)$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$12 \int_{0}^{\ln (3)} u^{3} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (3)})$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$12 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (3)})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $\ln (3)$ et sur $0$ .

$12 ((\frac{\ln^{4} (3)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} - 0)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$12 (\frac{\ln^{4} (3)}{4} + 0)$

Étape 5.2.4

Additionnez $\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ et $0$ .

$12 \frac{\ln^{4} (3)}{4}$

Étape 5.2.5

Associez $12$ et $\frac{\ln^{4} (3)}{4}$ .

$\frac{12 \ln^{4} (3)}{4}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12 \ln^{4} (3)$ .

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4}$

Étape 5.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 (1)}$

Étape 5.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 \ln^{4} (3))}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln^{4} (3)}{1}$

Étape 5.2.6.2.4

Divisez $3 \ln^{4} (3)$ par $1$ .

$3 \ln^{4} (3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \ln^{4} (3)$

Forme décimale :

$4.37017738 \dots$