Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} x^{2} {(x^{3} - 10)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} - 10$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} - 10$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 10]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.4

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} - 10$ .

$u_{lower} = 1^{3} - 10$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 - 10$

Étape 1.3.2

Soustrayez $10$ de $1$ .

$u_{lower} = - 9$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} - 10$ .

$u_{upper} = 3^{3} - 10$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 27 - 10$

Étape 1.5.2

Soustrayez $10$ de $27$ .

$u_{upper} = 17$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 9$

$u_{upper} = 17$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 9}^{17} u^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 9}^{17} \frac{u^{3}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{- 9}^{17} u^{3} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 9}^{17}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $17$ et sur $- 9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 17^{4}) - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $17$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 83521 - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $83521$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Étape 5.2.3

Élevez $- 9$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6561)$

Étape 5.2.4

Multipliez $6561$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - 6561 (\frac{1}{4}))$

Étape 5.2.5

Associez $- 6561$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} + \frac{- 6561}{4})$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{6561}{4})$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{83521 - 6561}{4}$

Étape 5.2.8

Soustrayez $6561$ de $83521$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{76960}{4}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun à $76960$ et $4$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $4$ à partir de $76960$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4}$

Étape 5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 (1)}$

Étape 5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19240}{1}$

Étape 5.2.9.2.4

Divisez $19240$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 19240$

Étape 5.2.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $19240$ .

$\frac{19240}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{19240}{3}$

Forme décimale :

$6413.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$6413 \frac{1}{3}$

Étape 7