Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{9}{x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Étape 4.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $3$ et sur $1$ .

$9 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 4.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Étape 4.2.2.5

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 4.2.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{9}$ .

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Étape 4.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$9 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Étape 4.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{- 1 + 9}{18}$

Étape 4.2.2.8

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$9 (\frac{8}{18})$

Étape 4.2.2.9

Annulez le facteur commun à $8$ et $18$ .

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Étape 4.2.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$9 \frac{2 (4)}{18}$

Étape 4.2.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$9 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{4}{9})$

Étape 4.2.2.10

Associez $9$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{9}$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{36}{9}$

Étape 4.2.2.12

Annulez le facteur commun à $36$ et $9$ .

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Étape 4.2.2.12.1

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$\frac{9 \cdot 4}{9}$

Étape 4.2.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.12.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Étape 4.2.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1}$

Étape 4.2.2.12.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 5