Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , placez $p$ en dehors de l’intégrale.

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{2} (x)$ et $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $x$ et $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Étape 3.2.2

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

Étape 4

Réécrivez $\ln (x^{2})$ comme $2 \ln (x)$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\ln^{2} (x) x$ sur $3$ et sur $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Étape 10.2

Évaluez $\ln (x) x$ sur $3$ et sur $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

Étape 10.3

Évaluez $x$ sur $3$ et sur $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln^{2} (3)$ .

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Étape 10.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Étape 10.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (3)$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

Étape 10.4.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

Étape 10.4.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Étape 11.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Étape 11.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

Étape 11.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

Étape 11.1.5

Additionnez $3 \ln (3)$ et $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

Étape 11.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

Étape 11.1.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

Étape 11.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

Étape 11.2

Additionnez $3 \ln^{2} (3)$ et $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

Étape 11.4

Déplacez $4$ à gauche de $p$ .

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

Étape 11.5

Déplacez $3$ à gauche de $p$ .

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$