Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $r$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (r)$ et $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Étape 3.2

Associez $\ln (r)$ et $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{r^{4}}{4}$ par $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $r^{4}$ et $r$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $r$ à partir de $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $r$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ et $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{r^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.2

Déplacez $81$ à gauche de $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.8

Soustrayez $1$ de $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.9

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.9.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Étape 6.2.3.10

Annulez le facteur commun à $20$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Étape 6.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Étape 6.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Étape 6.2.3.10.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Étape 6.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Étape 7.3

Additionnez $81 \ln (3)$ et $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Étape 7.5

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Étape 7.6

Multipliez $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

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Étape 7.6.1

Associez $9$ et $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Étape 7.6.2

Multipliez $81$ par $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Forme décimale :

$155.22208960 \dots$