Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} {(3 x + 2)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x + 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 + 2$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 + 2$

Étape 1.3.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x + 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$u_{upper} = 12 + 2$

Étape 1.5.2

Additionnez $12$ et $2$ .

$u_{upper} = 14$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 14$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{5}^{14} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{5}^{14} \frac{u^{2}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{5}^{14} u^{2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{5}^{14}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $14$ et sur $5$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $14$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2744$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Étape 5.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 125)$

Étape 5.2.4

Multipliez $125$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - 125 (\frac{1}{3}))$

Étape 5.2.5

Associez $- 125$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} + \frac{- 125}{3})$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{125}{3})$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2744 - 125}{3}$

Étape 5.2.8

Soustrayez $125$ de $2744$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2619}{3}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun à $2619$ et $3$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $2619$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3}$

Étape 5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 (1)}$

Étape 5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 \cdot 1}$

Étape 5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{873}{1}$

Étape 5.2.9.2.4

Divisez $873$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 873$

Étape 5.2.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $873$ .

$\frac{873}{3}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun à $873$ et $3$ .

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Étape 5.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $873$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3}$

Étape 5.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3 (1)}$

Étape 5.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 291}{3 \cdot 1}$

Étape 5.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{291}{1}$

Étape 5.2.11.2.4

Divisez $291$ par $1$ .

$291$

Étape 6