Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 5$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 5$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 5$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

Étape 1.5.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 5.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 5.2.5

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 5.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

Étape 5.2.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

Étape 5.2.8

Associez $4$ et $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

Étape 5.2.9

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{60}{2}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $60$ et $2$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{30}{1}$

Étape 5.2.10.2.4

Divisez $30$ par $1$ .

$30$

Étape 6