Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} 10 + 4 x - 3 x^{3} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{4} 10 d x + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$10 x]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$10 x]_{2}^{4} + 4 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 \int_{2}^{4} x^{3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $10 x$ sur $4$ et sur $2$ .

$(10 \cdot 4) - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $4$ et sur $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $10$ par $4$ .

$40 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$40 - 20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.3

Soustrayez $20$ de $40$ .

$20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$20 + 4 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 + 4 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$20 + 4 (8 - \frac{4}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 + 4 (8 - \frac{2}{1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.7.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$20 + 4 (8 - 1 \cdot 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$20 + 4 (8 - 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.9

Soustrayez $2$ de $8$ .

$20 + 4 \cdot 6 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.10

Multipliez $4$ par $6$ .

$20 + 24 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.11

Additionnez $20$ et $24$ .

$44 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.12

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$44 - 3 (\frac{256}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.13

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 8.2.4.13.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$44 - 3 (\frac{64}{1} - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.13.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$44 - 3 (64 - \frac{2^{4}}{4})$

Étape 8.2.4.14

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$44 - 3 (64 - \frac{16}{4})$

Étape 8.2.4.15

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 8.2.4.15.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4})$

Étape 8.2.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)})$

Étape 8.2.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$44 - 3 (64 - \frac{4}{1})$

Étape 8.2.4.15.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$44 - 3 (64 - 1 \cdot 4)$

Étape 8.2.4.16

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$44 - 3 (64 - 4)$

Étape 8.2.4.17

Soustrayez $4$ de $64$ .

$44 - 3 \cdot 60$

Étape 8.2.4.18

Multipliez $- 3$ par $60$ .

$44 - 180$

Étape 8.2.4.19

Soustrayez $180$ de $44$ .

$- 136$

Étape 9