Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} \frac{w^{4} - w}{w^{3}} d w$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{4} - w$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{4}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} - w}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $w$ à partir de $- w$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} + w \cdot - 1}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $w$ à partir de $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{2}^{4} \frac{w^{3} - 1}{w^{2}} d w$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Retirez $w^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{- 2} d w$

Étape 2

Multipliez $(w^{3} - 1) w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w^{3} w^{- 2} - 1 w^{- 2} d w$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $w^{3}$ par $w^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{2}^{4} w^{3 - 2} - 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int_{2}^{4} w^{1} - 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.2

Simplifiez $w^{1}$ .

$\int_{2}^{4} w - 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 w^{- 2}$ comme $- w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w - w^{- 2} d w$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{4} w d w + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} w^{- 2} d w$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- 2}$ par rapport à $w$ est $- w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{2} w^{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Étape 8.2

Évaluez $- w^{- 1}$ sur $4$ et sur $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.3.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$8 - 4 (\frac{1}{2}) - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.6

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 4}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 8.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 + \frac{- 2}{1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$8 - 2 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.8

Soustrayez $2$ de $8$ .

$6 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + 2^{- 1})$

Étape 8.3.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 8.3.11

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 8.3.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.12.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Étape 8.3.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Étape 8.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 - \frac{- 1 + 2}{4}$

Étape 8.3.14

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$6 - \frac{1}{4}$

Étape 8.3.15

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 8.3.16

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 8.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 8.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.18.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{24 - 1}{4}$

Étape 8.3.18.2

Soustrayez $1$ de $24$ .

$\frac{23}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{23}{4}$

Forme décimale :

$5.75$

Forme de nombre mixte :

$5 \frac{3}{4}$

Étape 10