Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $2 t$ sur $5$ et sur $2$ .

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.3

Soustrayez $4$ de $10$ .

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.8

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.9

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.11.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.12

Associez $2$ et $\frac{21}{2}$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13

Multipliez $2$ par $21$ .

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14

Annulez le facteur commun à $42$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.15

Additionnez $6$ et $21$ .

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.16

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Étape 8.2.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

Étape 8.2.4.19

Soustrayez $8$ de $125$ .

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

Étape 8.2.4.20

Annulez le facteur commun à $117$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.20.1

Factorisez $3$ à partir de $117$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

Étape 8.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.20.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

Étape 8.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

Étape 8.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

Étape 8.2.4.20.2.4

Divisez $39$ par $1$ .

$27 + 3 \cdot 39$

Étape 8.2.4.21

Multipliez $3$ par $39$ .

$27 + 117$

Étape 8.2.4.22

Additionnez $27$ et $117$ .

$144$

Étape 9