Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{5} (2 - x) (x - 5) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{5} 2 (x - 5) - x (x - 5) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x (x - 5) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5 d x$

Étape 1.4

Déplacez $x$ .

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.6

Factorisez le signe négatif.

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x \cdot x) - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x) - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x d x$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} + 5 x d x$

Étape 1.12

Déplacez $- 10$ .

$\int_{2}^{5} 2 x - x^{2} + 5 x - 10 d x$

Étape 1.13

Déplacez $2 x$ .

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 5 x + 2 x - 10 d x$

Étape 1.14

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 7 x - 10 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{5} - x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $2$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $2$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 10 x]_{2}^{5}$

Étape 10.3

Évaluez $- 10 x$ sur $5$ et sur $2$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{8}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{125 - 8}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.4

Soustrayez $8$ de $125$ .

$- \frac{117}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.5

Annulez le facteur commun à $117$ et $3$ .

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Étape 10.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $117$ .

$- \frac{3 \cdot 39}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{39}{1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.5.2.4

Divisez $39$ par $1$ .

$- 1 \cdot 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.6

Multipliez $- 1$ par $39$ .

$- 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.11

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.12

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 39 + 7 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.14.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 39 + 7 \frac{25 - 4}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.14.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$- 39 + 7 (\frac{21}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.15

Associez $7$ et $\frac{21}{2}$ .

$- 39 + \frac{7 \cdot 21}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.16

Multipliez $7$ par $21$ .

$- 39 + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.17

Pour écrire $- 39$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 39 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.18

Associez $- 39$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 39 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 39 \cdot 2 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.20.1

Multipliez $- 39$ par $2$ .

$\frac{- 78 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.20.2

Additionnez $- 78$ et $147$ .

$\frac{69}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.21

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$\frac{69}{2} - 50 + 10 \cdot 2$

Étape 10.4.22

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{69}{2} - 50 + 20$

Étape 10.4.23

Additionnez $- 50$ et $20$ .

$\frac{69}{2} - 30$

Étape 10.4.24

Pour écrire $- 30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} - 30 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.4.25

Associez $- 30$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} + \frac{- 30 \cdot 2}{2}$

Étape 10.4.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{69 - 30 \cdot 2}{2}$

Étape 10.4.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.27.1

Multipliez $- 30$ par $2$ .

$\frac{69 - 60}{2}$

Étape 10.4.27.2

Soustrayez $60$ de $69$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 12