Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{2} 36^{\frac{x}{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{- 2}{2}$

Étape 1.3

Divisez $- 2$ par $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{2}$

Étape 1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot (1 \cdot 2) d u$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot 2 d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $36^{u}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 \cdot 36^{u} d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 1}^{1} 36^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $36^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36^{u}}{\ln (36)}]_{- 1}^{1})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$2 ((\frac{36^{1}}{\ln (36)}) - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Évaluez l’exposant.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)})$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)}$ comme un produit.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - (\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{\ln (36)}))$

Étape 5.2.4

Multipliez $\frac{1}{36}$ par $\frac{1}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Forme décimale :

$20.07647948 \dots$

Étape 7