Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} e^{4 x^{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{4 {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u_{1} e^{4 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $e^{4 {u_{1}}^{2}}$ .

$\int \frac{u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 8 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{8} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $4 {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 u_{1})$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{8} d u_{2}$

Étape 5

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{8} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{16} e^{u_{2}} + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {u_{1}}^{2}} + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{16} e^{4 {(x^{2})}^{2}} + C$