Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Étape 4

Laissez $u = - 0.4 x$ . Alors $d u = - 0.4 d x$ , donc $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - 0.4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Étape 4.1.2

Comme $- 0.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.4 x$ par rapport à $x$ est $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 0.4$ par $1$ .

$- 0.4$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Étape 4.3

Multipliez $- 0.4$ par $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Étape 4.5

Multipliez $- 0.4$ par $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Étape 5.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{0.4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.4}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{0.4}$ et $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $x$ sur $3$ et sur $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 1.2$ et sur $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Étape 11.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Divisez $2$ par $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Étape 12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Étape 12.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Étape 12.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Étape 12.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Étape 12.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Étape 12.2.5

Associez $5$ et $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Forme décimale :

$1.74067376 \dots$

Étape 14