Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 2

Comme $0.1$ est constant par rapport à $a$ , placez $0.1$ en dehors de l’intégrale.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 3

Laissez $u = - 0.1 a$ . Alors $d u = - 0.1 d a$ , donc $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 0.1 a$ . Déterminez $\frac{d u}{d a}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Étape 3.1.2

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 0.1 a$ par rapport à $a$ est $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 0.1$ par $1$ .

$- 0.1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $a$ dans $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Étape 3.3

Multipliez $- 0.1$ par $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $a$ dans $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Étape 3.5

Multipliez $- 0.1$ par $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 7

Comme $\frac{1}{0.1}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.1}$ en dehors de l’intégrale.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{0.1}$ et $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 0.1$ et $0.1$ .

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Étape 8.2.1

Réécrivez $- 0.1$ comme $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 8.2.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $a$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{a}$ par rapport à $a$ est $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 0.3$ et sur $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Étape 12.2

Évaluez $\ln (| a |)$ sur $3$ et sur $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 12.3

Supprimez les parenthèses.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Étape 13

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 14.3

Multipliez $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 14.3.2

Multipliez $\frac{1}{e^{0.2}}$ par $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 14.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Étape 14.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Étape 14.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Forme décimale :

$0.88884274 \dots$

Étape 16