Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Étape 2

Multipliez $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Étape 3

Multipliez $u^{2}$ par $u^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $u^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Étape 7.2

Placez $u^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Étape 8

L’intégrale de $u^{- 1}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Évaluez $- \frac{1}{2 u^{2}}$ sur $3$ et sur $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Étape 9.1.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $3$ et sur $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.5

Pour écrire $- \frac{1}{18}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.6

Pour écrire $\frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $72$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1.3.7.1

Multipliez $\frac{1}{18}$ par $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.7.2

Multipliez $18$ par $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.7.3

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.7.4

Multipliez $8$ par $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.9

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.10

Associez $2$ et $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.11

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.12

Annulez le facteur commun à $10$ et $72$ .

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Étape 9.1.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.1.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Étape 9.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Étape 9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Forme décimale :

$0.54435399 \dots$

Étape 11