Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} (5 - x^{2}) - (x + 3) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{1} 5 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$5 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Étape 6

Multipliez $- (x + 3)$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 3 d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $5 x]_{- 2}^{1}$ et $- 3 x]_{- 2}^{1}$ .

$5 x - 3 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Étape 13.1.2

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Étape 13.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.2.1

Évaluez $2 x$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Étape 13.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Étape 13.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4

Simplifiez

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Étape 13.2.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.8

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 - \frac{1 + 8}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.10

Additionnez $1$ et $8$ .

$6 - \frac{9}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 13.2.4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 - \frac{3}{1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$6 - 1 \cdot 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 - 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.13

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.15

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

Étape 13.2.4.16

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.2.4.16.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.4.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Étape 13.2.4.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Étape 13.2.4.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

Étape 13.2.4.16.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

Étape 13.2.4.17

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2)$

Étape 13.2.4.18

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 13.2.4.19

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.4.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.21.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 - \frac{1 - 4}{2}$

Étape 13.2.4.21.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$3 - \frac{- 3}{2}$

Étape 13.2.4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - - \frac{3}{2}$

Étape 13.2.4.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 + 1 (\frac{3}{2})$

Étape 13.2.4.24

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$3 + \frac{3}{2}$

Étape 13.2.4.25

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 13.2.4.26

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 13.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 2 + 3}{2}$

Étape 13.2.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.28.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Étape 13.2.4.28.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{2}$

Forme décimale :

$4.5$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{1}{2}$

Étape 15