Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Étape 2

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $y^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 7.1.2

Placez $y^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{y^{4}}{4}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Étape 7.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 y^{2}}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.5

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.6

Associez $- 4$ et $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.8.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.8.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.11

Associez $- 7$ et $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $- 7$ par $15$ .

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Étape 7.2.3.16

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Étape 7.2.3.17

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Étape 7.2.3.18

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Étape 7.2.3.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.19.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Étape 7.2.3.19.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Étape 7.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

Étape 7.2.3.21

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

Étape 7.2.3.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

Étape 7.2.3.23

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

Étape 7.2.3.24

Associez $- 4$ et $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Étape 7.2.3.25

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

Étape 7.2.3.26

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $8$ .

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Étape 7.2.3.26.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Étape 7.2.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.26.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.3.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 7.2.3.28

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.29.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.3.29.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 7.2.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 7.2.3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.31.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 105 - 6}{4}$

Étape 7.2.3.31.2

Soustrayez $6$ de $- 105$ .

$\frac{- 111}{4}$

Étape 7.2.3.32

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{111}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{111}{4}$

Forme décimale :

$- 27.75$

Forme de nombre mixte :

$- 27 \frac{3}{4}$

Étape 9