Calcul infinitésimal Exemples

$\int 12 + \frac{500}{x + 1} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 12 d x + \int \frac{500}{x + 1} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$12 x + C + \int \frac{500}{x + 1} d x$

Étape 3

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , placez $500$ en dehors de l’intégrale.

$12 x + C + 500 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$12 x + C + 500 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$12 x + C + 500 (\ln (| u |) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$12 x + 500 \ln (| u |) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$12 x + 500 \ln (| x + 1 |) + C$