Calcul infinitésimal Exemples

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Étape 2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Étape 4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$