Calcul infinitésimal Exemples

$\int 15 x e^{- 3 x} d x$

Étape 1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$15 \int x e^{- 3 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 3 x}$ .

$15 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ par $1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Étape 8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ comme $15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Étape 13.2.2

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{x}{3}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Étape 13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{9}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) + C$