Calcul infinitésimal Exemples

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Étape 1

Comme $15$ est constant par rapport à $y$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Étape 2

Laissez $u_{1} = y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ comme $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.3.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Alors $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{3}{2}$ et ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.9

Associez $4$ et $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.11

Factorisez $2$ à partir de $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.3.12.4

Divisez $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $3$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ comme un radical.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 5

Associez ${u_{2}}^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $15$ .

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 7.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ comme $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ .

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

Étape 9.2

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2}$ .

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$