Calcul infinitésimal Exemples

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Étape 1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Réécrivez $6$ comme $4$ plus $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{4 + 2}$ comme $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 2.4

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Étape 5

Développez $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(1 + u^{2})}^{2}$ comme $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.8

Déplacez $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.9

Remettez dans l’ordre $u^{4}$ et $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.10

Remettez dans l’ordre $u^{2}$ et $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.11

Remettez dans l’ordre $u^{4}$ et $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.12

Multipliez $1$ par $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.13

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.14

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.16

Additionnez $4$ et $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.17

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.19

Additionnez $4$ et $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Étape 5.21

Additionnez $4$ et $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Étape 5.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Étape 5.23

Additionnez $6$ et $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Étape 5.24

Additionnez $u^{6}$ et $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Étape 5.25

Remettez dans l’ordre $2 u^{6}$ et $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Étape 5.26

Déplacez $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 11.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$