Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{16}^{20} 3.96 + 0.07 x + 0.015 x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{16}^{20} 3.96 d x + \int_{16}^{20} 0.07 x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$3.96 x]_{16}^{20} + \int_{16}^{20} 0.07 x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Étape 3

Comme $0.07$ est constant par rapport à $x$ , placez $0.07$ en dehors de l’intégrale.

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 \int_{16}^{20} x d x + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{1}{2} x^{2}]_{16}^{20}) + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + \int_{16}^{20} 0.015 x^{2} d x$

Étape 6

Comme $0.015$ est constant par rapport à $x$ , placez $0.015$ en dehors de l’intégrale.

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 \int_{16}^{20} x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{1}{3} x^{3}]_{16}^{20})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3.96 x]_{16}^{20} + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $3.96 x$ sur $20$ et sur $16$ .

$(3.96 \cdot 20) - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{x^{2}}{2}]_{16}^{20}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $20$ et sur $16$ .

$3.96 \cdot 20 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 (\frac{x^{3}}{3}]_{16}^{20})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $20$ et sur $16$ .

$3.96 \cdot 20 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $3.96$ par $20$ .

$79.2 - 3.96 \cdot 16 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 3.96$ par $16$ .

$79.2 - 63.36 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.3

Soustrayez $63.36$ de $79.2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.4

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{400}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5

Annulez le facteur commun à $400$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $400$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$15.84 + 0.07 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$15.84 + 0.07 (\frac{200}{1} - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.4

Divisez $200$ par $1$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{16^{2}}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{256}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7

Annulez le facteur commun à $256$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2 (1)}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$15.84 + 0.07 (200 - \frac{128}{1}) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7.2.4

Divisez $128$ par $1$ .

$15.84 + 0.07 (200 - 1 \cdot 128) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.8

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$15.84 + 0.07 (200 - 128) + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.9

Soustrayez $128$ de $200$ .

$15.84 + 0.07 \cdot 72 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.10

Multipliez $0.07$ par $72$ .

$15.84 + 5.04 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11

Additionnez $15.84$ et $5.04$ .

$20.88 + 0.015 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.12

Élevez $20$ à la puissance $3$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{8000}{3} - \frac{16^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{8000}{3} - \frac{4096}{3})$

Étape 8.2.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20.88 + 0.015 \frac{8000 - 4096}{3}$

Étape 8.2.4.15

Soustrayez $4096$ de $8000$ .

$20.88 + 0.015 (\frac{3904}{3})$

Étape 8.2.4.16

Associez $0.015$ et $\frac{3904}{3}$ .

$20.88 + \frac{0.015 \cdot 3904}{3}$

Étape 8.2.4.17

Multipliez $0.015$ par $3904$ .

$20.88 + \frac{58.56}{3}$

Étape 8.2.4.18

Pour écrire $20.88$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$20.88 \cdot \frac{3}{3} + \frac{58.56}{3}$

Étape 8.2.4.19

Associez $20.88$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20.88 \cdot 3}{3} + \frac{58.56}{3}$

Étape 8.2.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20.88 \cdot 3 + 58.56}{3}$

Étape 8.2.4.21

Multipliez $20.88$ par $3$ .

$\frac{62.64 + 58.56}{3}$

Étape 8.2.4.22

Additionnez $62.64$ et $58.56$ .

$\frac{121.2}{3}$

Étape 9

Divisez $121.2$ par $3$ .

$40.4$

Étape 10