Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de 1 à e de (1- logarithme népérien de x)/x par rapport à x
Étape 1
Divisez la fraction en plusieurs fractions.
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 6
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 6.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 6.1.1
Différenciez .
Étape 6.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 6.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 6.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 6.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 6.5
Le logarithme naturel de est .
Étape 6.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 6.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 7
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 8
Associez et .
Étape 9
Remplacez et simplifiez.
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Étape 9.1
Évaluez sur et sur .
Étape 9.2
Évaluez sur et sur .
Étape 9.3
Simplifiez
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Étape 9.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 9.3.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.3.3
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 9.3.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.3.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 9.3.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.3.3.2.4
Divisez par .
Étape 9.3.4
Multipliez par .
Étape 9.3.5
Additionnez et .
Étape 10
Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, .
Étape 11
Simplifiez
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Étape 11.1
est d’environ qui est positif, alors retirez la valeur absolue
Étape 11.2
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 11.3
Divisez par .
Étape 12
Simplifiez
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Étape 12.1
Le logarithme naturel de est .
Étape 12.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 12.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 12.4
Soustrayez de .
Étape 13
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :