Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ et $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ sur $e$ et sur $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $e$ et sur $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Étape 6.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Étape 6.2.3.5

Associez.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.10.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Étape 6.2.3.11

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Étape 6.2.3.12

Pour écrire $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 6.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.13.1

Multipliez $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 6.2.3.13.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 6.2.3.15

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7.1.1.5

Soustrayez $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Étape 7.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Étape 7.1.3

Divisez $0$ par $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Étape 7.2

Additionnez $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ et $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Étape 7.3.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Étape 7.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Étape 7.4

Associez $2$ et $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Forme décimale :

$27.44738256 \dots$