Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Étape 1

Réécrivez $\ln (x^{2})$ comme $2 \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\ln (x) x$ sur $e$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Étape 6.2

Évaluez $x$ sur $e$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 7.1.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 7.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$2 (e - 0 - (e - 1))$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (e + 0 - (e - 1))$

Étape 7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e + 0 - e - - 1)$

Étape 7.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (e + 0 - e + 1)$

Étape 7.2

Additionnez $e$ et $0$ .

$2 (e - e + 1)$

Étape 7.3

Soustrayez $e$ de $e$ .

$2 (0 + 1)$

Étape 7.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$