Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(x - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{9} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{9} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{9} x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Réécrivez $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ comme $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 10.2

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 10.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.10

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.11

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.13.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.13.2

Soustrayez $2$ de $54$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.14

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.15

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.16.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.17

Évaluez l’exposant.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.18

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1)$

Étape 10.3.20

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2)$

Étape 10.3.21

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{52}{3} - 1 \cdot 4$

Étape 10.3.22

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{52}{3} - 4$

Étape 10.3.23

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.3.24

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 10.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 10.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.26.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{52 - 12}{3}$

Étape 10.3.26.2

Soustrayez $12$ de $52$ .

$\frac{40}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{40}{3}$

Forme décimale :

$13.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$13 \frac{1}{3}$

Étape 12