Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 9$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.1.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Étape 1.3

Soustrayez $9$ de $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Étape 1.5

Soustrayez $9$ de $9$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ sur $0$ et sur $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.9

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Étape 4.2.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Étape 4.2.11

Associez $- 4$ et $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Étape 4.2.12

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Étape 4.2.13

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 4.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Étape 4.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Étape 4.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Étape 4.2.13.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6$

Étape 4.2.14

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 5