Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $9$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 6.2

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.6

Soustrayez $1$ de $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.7

Annulez le facteur commun à $80$ et $2$ .

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Étape 6.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.7.2.4

Divisez $40$ par $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.11

Évaluez l’exposant.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Étape 6.3.14

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Étape 6.3.15

Soustrayez $2$ de $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Étape 6.3.16

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$40 - 4$

Étape 6.3.17

Soustrayez $4$ de $40$ .

$36$

Étape 7