Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{9} 4 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{9})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $9$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $27$ .

$4 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (18 - \frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.9

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.10

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 4.2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.12.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$4 \frac{54 - 2}{3}$

Étape 4.2.2.12.2

Soustrayez $2$ de $54$ .

$4 (\frac{52}{3})$

Étape 4.2.2.13

Associez $4$ et $\frac{52}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 52}{3}$

Étape 4.2.2.14

Multipliez $4$ par $52$ .

$\frac{208}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{208}{3}$

Forme décimale :

$69.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$69 \frac{1}{3}$

Étape 6