Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1.6}^{0.7} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - - 1.6$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1.6$ .

$u_{lower} = 1 + 1.6$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1.6$ .

$u_{lower} = 2.6$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.7$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $0.7$ .

$u_{upper} = 1 - 0.7$

Étape 1.5.2

Soustrayez $0.7$ de $1$ .

$u_{upper} = 0.3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2.6$

$u_{upper} = 0.3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2.6}^{0.3} - u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2.6}^{0.3} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{2.6}^{0.3})$

Étape 4

Associez $\frac{3}{4}$ et $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{2.6}^{0.3})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ sur $0.3$ et sur $2.6$ .

$- ((\frac{3 \cdot {0.3}^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $0.3$ à la puissance $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0.20082988}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $0.20082988$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 5.2.3

Élevez $2.6$ à la puissance $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot 3.57517905}{4})$

Étape 5.2.4

Multipliez $3$ par $3.57517905$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{10.72553716}{4})$

Étape 5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{0.60248965 - 10.72553716}{4}$

Étape 5.2.6

Soustrayez $10.72553716$ de $0.60248965$ .

$- \frac{- 10.1230475}{4}$

Étape 5.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{10.1230475}{4}$

Étape 5.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{10.1230475}{4})$

Étape 5.2.9

Multipliez $\frac{10.1230475}{4}$ par $1$ .

$\frac{10.1230475}{4}$

Étape 6

Divisez $10.1230475$ par $4$ .

$2.53076187$

Étape 7