Calcul infinitésimal Exemples

$\int 1 + \cos^{2} (t) d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d t + \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$t + C + \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$t + C + \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$t + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$t + C + \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 11

Simplifiez

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 t)$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Étape 13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $t$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Étape 13.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2}$ .

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Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2 t) + C$