Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} + 0.5 t d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Étape 2

Comme $- 0.009$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 0.009$ en dehors de l’intégrale.

$- 0.009 \int_{10}^{20} t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{1}{3} t^{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Étape 5

Comme $0.5$ est constant par rapport à $t$ , placez $0.5$ en dehors de l’intégrale.

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 \int_{10}^{20} t d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{10}^{20})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $20$ et sur $10$ .

$- 0.009 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $20$ et sur $10$ .

$- 0.009 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $20$ à la puissance $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{1000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 0.009 \frac{8000 - 1000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Soustrayez $1000$ de $8000$ .

$- 0.009 (\frac{7000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Associez $- 0.009$ et $\frac{7000}{3}$ .

$\frac{- 0.009 \cdot 7000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Multipliez $- 0.009$ par $7000$ .

$\frac{- 63}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 63$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 63$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (1)} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 21}{1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2.4

Divisez $- 21$ par $1$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{400}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Annulez le facteur commun à $400$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $400$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 21 + 0.5 (\frac{200}{1} - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9.2.4

Divisez $200$ par $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{10^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.10

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{100}{2})$

Étape 7.2.3.11

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2})$

Étape 7.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)})$

Étape 7.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{50}{1})$

Étape 7.2.3.11.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 1 \cdot 50)$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 50)$

Étape 7.2.3.13

Soustrayez $50$ de $200$ .

$- 21 + 0.5 \cdot 150$

Étape 7.2.3.14

Multipliez $0.5$ par $150$ .

$- 21 + 75$

Étape 7.2.3.15

Additionnez $- 21$ et $75$ .

$54$

Étape 8