Calcul infinitésimal Exemples

$\int 10.8 \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Étape 1

Comme $10.8$ est constant par rapport à $x$ , placez $10.8$ en dehors de l’intégrale.

$10.8 \int \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 4 x + 5$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 4 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$- 4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$10.8 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$10.8 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$10.8 \int - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10.8 (- \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $10.8$ .

$- 10.8 \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 10.8 (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 10.8$ .

$\frac{- 10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Étape 7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10.8}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$ .

$- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 1$ par $2.7$ .

$- 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 9.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2.7 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 9.2.3

Associez $- 2.7$ et $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{- 2.7 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $2$ par $- 2.7$ .

$\frac{- 5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 9.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x + 5$ .

$- \frac{5.4 {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{5.4}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$