Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

Étape 1

Complétez le carré.

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Étape 1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1

Déplacez $20$ .

$- 8 x - x^{2} + 20$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 8 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x + 20$

Étape 1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

Étape 1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 4$ comme $- - 4$ .

$d = - - 4$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$d = 4$

Étape 1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

Étape 1.5.2.1.3

Divisez $64$ par $- 4$ .

$e = 20 - - 16$

Étape 1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e = 20 + 16$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $20$ et $16$ .

$e = 36$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 4)}^{2} + 36$ .

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x + 4$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 4$ .

$u_{lower} = - 10 + 4$

Étape 2.3

Additionnez $- 10$ et $4$ .

$u_{lower} = - 6$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 4$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Étape 2.5

Additionnez $2$ et $4$ .

$u_{upper} = 6$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 6 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ est positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $- 36 \sin^{2} (t)$ et $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.3

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.4

Factorisez $36$ à partir de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.5

Factorisez $36$ à partir de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.7

Réécrivez $36 \cos^{2} (t)$ comme ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 4.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 4.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , placez $36$ en dehors de l’intégrale.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8.2.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 11.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 11.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 11.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 11.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 11.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 12

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Étape 16

Remplacez et simplifiez.

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Étape 16.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Étape 16.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $π$ et sur $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 16.3

Simplifiez

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Étape 16.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 16.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 16.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 16.3.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Étape 17.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Étape 17.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Étape 17.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Étape 17.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Étape 17.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Étape 17.2

Divisez $0$ par $2$ .

$18 (π + 0)$

Étape 18

Additionnez $π$ et $0$ .

$18 π$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$18 π$

Forme décimale :

$56.54866776 \dots$

Étape 20