Calcul infinitésimal Exemples

$\int 100 - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 100 d q + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$100 q + C + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Étape 3

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $q$ , placez $- \frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{2 q} d q$

Étape 4

Laissez $u = 2 q$ . Alors $d u = 2 d q$ , donc $\frac{1}{2} d u = d q$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 q$ . Déterminez $\frac{d u}{d q}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 q$ .

$\frac{d}{d q} [2 q]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $2 q$ par rapport à $q$ est $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$2 \frac{d}{d q} [q]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$100 q + C - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 7.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} \int \sqrt{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$100 q - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$100 q - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$100 q - \frac{6}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$100 q - \frac{6}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $12$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$100 q - \frac{6 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$100 q - \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 q$ .

$100 q - \frac{1}{2} {(2 q)}^{\frac{3}{2}} + C$