Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{6} t^{2} - 5 t + 6 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{6} t^{2} d t + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Étape 3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 \int_{1}^{6} t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + 6 t]_{1}^{6}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6}$ et $6 t]_{1}^{6}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + 6 t]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} t^{3} + 6 t$ sur $6$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $216$ .

$\frac{216}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{72}{1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$72 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$72 + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Additionnez $72$ et $36$ .

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.10

Associez $6$ et $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$108 - \frac{1 + 6 \cdot 3}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.12.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$108 - \frac{1 + 18}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12.2

Additionnez $1$ et $18$ .

$108 - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.13

Pour écrire $108$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$108 \cdot \frac{3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.14

Associez $108$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{108 \cdot 3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{108 \cdot 3 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.16.1

Multipliez $108$ par $3$ .

$\frac{324 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16.2

Soustrayez $19$ de $324$ .

$\frac{305}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.17

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.20

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.21

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{305}{3} - 5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 7.2.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.23.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 \frac{36 - 1}{2}$

Étape 7.2.3.23.2

Soustrayez $1$ de $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{35}{2})$

Étape 7.2.3.24

Associez $- 5$ et $\frac{35}{2}$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 5 \cdot 35}{2}$

Étape 7.2.3.25

Multipliez $- 5$ par $35$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 175}{2}$

Étape 7.2.3.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{305}{3} - \frac{175}{2}$

Étape 7.2.3.27

Pour écrire $\frac{305}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2}$

Étape 7.2.3.28

Pour écrire $- \frac{175}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.29.1

Multipliez $\frac{305}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.29.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.29.3

Multipliez $\frac{175}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.29.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{6}$

Étape 7.2.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{305 \cdot 2 - 175 \cdot 3}{6}$

Étape 7.2.3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.31.1

Multipliez $305$ par $2$ .

$\frac{610 - 175 \cdot 3}{6}$

Étape 7.2.3.31.2

Multipliez $- 175$ par $3$ .

$\frac{610 - 525}{6}$

Étape 7.2.3.31.3

Soustrayez $525$ de $610$ .

$\frac{85}{6}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{85}{6}$

Forme décimale :

$14.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$14 \frac{1}{6}$

Étape 9