Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 10$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 6

Comme $27$ est constant par rapport à $t$ , placez $27$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ et $- 18 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $2401$ .

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3

Multipliez $- 18$ par $7$ .

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.4

Pour écrire $- 126$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.5

Associez $- 126$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.7.1

Multipliez $- 126$ par $4$ .

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7.2

Soustrayez $504$ de $2401$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.10

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.12

Associez $- 18$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.14.1

Multipliez $- 18$ par $4$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14.2

Soustrayez $72$ de $1$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17

Multipliez $\frac{71}{4}$ par $1$ .

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.19

Additionnez $1897$ et $71$ .

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20

Annulez le facteur commun à $1968$ et $4$ .

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Étape 10.2.4.20.1

Factorisez $4$ à partir de $1968$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.20.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20.2.4

Divisez $492$ par $1$ .

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.21

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.24

Soustrayez $1$ de $343$ .

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25

Annulez le facteur commun à $342$ et $3$ .

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Étape 10.2.4.25.1

Factorisez $3$ à partir de $342$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.25.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.4

Divisez $114$ par $1$ .

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26

Multipliez $- 10$ par $114$ .

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.27

Soustrayez $1140$ de $492$ .

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.28

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.29

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 10.2.4.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

Étape 10.2.4.31

Soustrayez $1$ de $49$ .

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

Étape 10.2.4.32

Annulez le facteur commun à $48$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.32.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Étape 10.2.4.32.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.32.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Étape 10.2.4.32.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.32.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

Étape 10.2.4.32.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$- 648 + 27 \cdot 24$

Étape 10.2.4.33

Multipliez $27$ par $24$ .

$- 648 + 648$

Étape 10.2.4.34

Additionnez $- 648$ et $648$ .

$0$

Étape 11